坐標系壓軸專題

【坐標系壓軸專題】

坐標系中的問題，一般出在壓軸題，不是壓軸題也會有很大的難度，針對此便有了這個專題

【1】坐標系問題的基本運算
實用度：★★★★
如果想要熟練地解坐標系中的問題，先掌握下列的幾個重要點（看不清放大看）
 

前三點、最后一點稍難，有口訣：
兩點間距離公式：橫坐標相減的平方加縱坐標相減的平方開根號
斜率k：豎直高度比水平寬度
中點坐標公式：橫坐標的平均數，縱坐標的平均數
平移函數圖像：左增右減，上加下減
【例題1】（原創）難度：★★★★
 

答案：

【2】等腰三角形、直角三角形存在性
基礎做起，實用性：★★★
關鍵詞：等腰兩圓一線，直角兩線一圓
這兩點放在一起是為了對比，它們都需要分類討論。什么叫做兩圓一線、兩線一圓呢？
舉個例子，如圖，AB線段一條，在下面那根直線上找P和Q，使得
(1.)△ABP是等腰三角形 (2.)△ABQ是直角三角形


首先(1.)，有三種可能（AB=AP，AB=BP，AP=BP），兩圓：以A為圓心，AB為半徑畫圓，與直線交于P1，還有一個圓是以B為圓心，AB為半徑畫圓與直線交于P2和P3。最后一線：AB的垂直平分線與直線交于P4，P5（有時不一定5個，視情況而定）


(2.)，同樣三種，兩線：分別以A、B作AB的垂線分別交直線于Q1，Q2，一圓：以AB為直徑作圓，由于直徑所對圓周角是直角，所以與直線交點為Q3 Q4（個數視情況而定）


已經找到了，怎么求呢？
等腰的話最暴力的算法就是設出未知點坐標，把三角形三段長都用兩點間距離公式表達出來，最后一個一個等起來解方程即可。當然這是無可奈何、形狀實在不好找的時候的迫不得已辦法，一般他會給你已知兩點，在拋物線對稱軸上或x軸上或y軸上找，這樣就有一些幾何特征可以利用。當然暴力算法某些時候也是必須要用的。
直角，兩線的好找（k1k2乘積為-1可以，做垂直相似也可以），最后一圓略麻煩，這就要用到模型：一線三等角，做垂直，如圖。左右兩個三角形相似，然后設線段長，表達，相似比，解方程即可。一般是一元二次方程，所以解出一個另一個就自然知道。
注意：這里是非常規做法，就是妙招，再好算或者你對自己計算有信心的情況下，可以用中點坐標公式得出圓心坐標，再得出半徑，設出Q的坐標，用兩點間距離公式來做。

【例題】（原創）難度：★★★

答案：

(1.)

(2.)P的坐標為(3,3)或(6,3)或

(3.)

【3】鉛直高模型
實用度：★★★★★
平面直角坐標系里，隨機的三個點，圍成一個三角形，你能求出這個三角形的面積嗎？
這種題很容易，簡單幾個字：水平寬乘鉛直高
打個比方，這道題，隨便找三個點A、B、C（坐標看網格），求△ABC的面積

好的我們先做輔助線，作CD⊥x軸交AB（或它的延長線）于D，那么不論這個三角形是鈍角三角形還是銳角三角形還是直角三角形，它的面積總會等于圖上那玩意。
其中，因為CD是作x軸的垂線做出來的，所以叫做鉛直高，鉛直高與哪個邊相交，那么這條邊（注意是線段，如圖的AB）兩個端點的水平距離為水平寬（事實上就是右邊端點的橫坐標減去左邊端點的橫坐標），兩個的乘積的二分之一就是面積，從圖上直觀地看出，面積是4
怎么考？
一般讓你求一個關于面積的函數解析式，然后求最大值。
怎么求？
水平寬好求，鉛直高呢？再如圖：

好了，已知拋物線函數表達式，如圖，C是AB下方拋物線上的動點，求△ABC面積的最大值。做這種題先作輔助線CD⊥x軸交AB于D，然后設C坐標，因為CD⊥x軸，所以D的橫坐標與C的相同。所以CD的長度就有，拿就是縱坐標相減（注意：被減數一定要是位于上方的點的縱坐標。）
這種題近幾年考了很多，都快考爛了，所以中考絕不可能出這樣常規的題，一定會加以創新。
【例題1】（原創）難度：★★★★
 

答案：

(1.)

(2.)提示：過D作DE的垂線交CE于G，利用豎直高解。

(3.)提示：求平行四邊形面積最大值即求△BCD面積最大值，，

(4.)提示：作垂直，用相似。

【4.1】四邊形存在性問題——平行四邊形
實用度：★★★★
四邊形存在性近年來經常考，所以這部分要重視，只是平行四邊形考得多了，題型會有創新，因此先打好常規題的基礎：一般平行四邊形最普通的出題方式如下：
普通法
函數給出，拋物線交直線于A、B，在拋物線和直線上分別找E、F，使得C、D、F、E為頂點的四邊形是平行四邊形。

這種題十分簡單，用上次講的鉛直高表達EF和CD一等起來就是【以EF、CD為對邊的平行四邊形】注意還沒有完，還要討論對角線的情況，這要取CD中點，設坐標轉化，然后代入函數求解。
然后稍微復雜的：作高法
這個講起來就復雜點了，如圖
函數有，B的坐標看網格，在拋物線、x軸上找P、Q，使以A、B、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，求P、Q的坐標
先討論AB是邊的情況，既然是平行四邊形那就先作PQ‖AB，我們知道，當PQ=AB時就是平行四邊形。什么時候相等？P到x軸距離和B到x軸的距離相等，如圖，作PM⊥x軸，BN⊥x軸，（圖上沒畫）PM=BN=3時，就會有△PQM≌△BAN，這樣PQ=AB，就OK。也就是說，P的縱坐標是±3時，因為拋物線有了，解方程即可得到P的坐標，因為全等，AN=QM，所以Q的坐標也有了（？？，0）。另外就是對角線的情況，同樣找中點轉換。
變式：
萬一題目條件不變，Q改成在對稱軸或者某常函數上找要怎么辦？
事實上是一樣的：只是歪了點而已，記住兩邊都有，別只找到一邊不找另一邊。
 

【例題】（原創）難度：★★★

答案：

(1.)3

(2.)

(3.)或

【4.2】四邊形存在性——菱形與等腰梯形
實用度：★★★
首先從菱形開始說起。事實上，菱形的存在性就相當于變向的找等腰三角形，就是說找菱形就按照找等腰的那個套路找，不必講太多，充分利用四邊相等，且對邊平行的性質，還有對角線互相垂直且平分的性質，馬上就能找到。
然后等腰梯形有點難搞。好的我們拿鎮樓圖說話：

原題是我改編的，其中拋物線：y=-x2+2x+3（你會發現這個函數被用爛了）
E是AC上方拋物線上的動點，作ED⊥x軸交AC于D，當四邊形DECO為等腰梯形時，求E的坐標。
這種題的話先說常規做法，作EG⊥y軸，DH⊥y軸，利用CG=DH來解，就是拿CO-DE（DE的長度可以表示）再除以2，等于OH來解方程。這樣會很麻煩所以= =
妙招解法：
設CO的中點是G，DE的中點是H，當GH⊥y軸時，就是等腰梯形，理由很簡單，這個時候GH是垂直平分CO的，由對稱性就能秒殺。D、E坐標可表達，其中點H用中點坐標公式表達，表達出H的縱坐標，和G的縱坐標（就是3/2)相等解方程就秒殺。
總結一下，看到有等腰的什么東西可以聯想到垂直平分線，就好解了。
 

【例題1】（改編）難度：★★★

【例題2】（原創）難度：★★★★

答案：【1】(1.)拋物線的表達式為，直線的表達式為

(2.)提示：水平寬×鉛直高÷2，關鍵在于哪一段。

(3.)提示：分類討論，畫圖求解。或

【2】(1.)①    ②     ③

(2.)提示：過F作FG⊥OA于G，通過△FGA與某一個三角形相似。

(3.)提示：根據對稱性做，P是BC與拋物線的交點。

【5】坐標系軸對稱綜合問題
實用度：★★★★
坐標系中的軸對稱是今年考的比較多的問題
關注下面幾點：
角相等，邊相等的轉化
并且還要和相似全等連用，如：
如圖，函數有，直線CD下方的拋物線上是否存在A，x軸上存在B，使得A、B關于CD軸對稱

【5】坐標系軸對稱綜合問題
實用度：★★★★
坐標系中的軸對稱是今年考的比較多的問題
關注下面幾點：
角相等，邊相等的轉化
并且還要和相似全等連用，如：
如圖，函數有，直線CD下方的拋物線上是否存在A，x軸上存在B，使得A、B關于CD軸對稱，一題解：

首先第一種解法，我自己的解法

妙解，來自@孤獨求解186

（改正一下，AE=8a，非AF=8a）

多種解法，形態不一，不過在這里要記住，因為對稱可能帶來角平分線，再加上平行的話就很有可能會出現等腰，具體見模型專題。

【例題1】（2014 河南）
 

答案：【1】(1.)

(2.)提示：不要忘了絕對值，

(3.)提示：角平分線+平行=等腰，P坐標為或或

【6】相切圓問題
實用度：★★★★
這種題型不出不知道一出嚇一跳，很多人看到圓和拋物線擺在一起就感到絕望了，一堆曲線怎么破？事實上圓只是一個條件的載體，不會考的很深，而相切問題算比較難的了。
例如：沒錯還是這個函數，在對稱軸上找一點E，使得以E為圓心的圓與x軸和直線AB同時相切。


這個E要怎么找？首先按照這個結構來說，是設直線AB與對稱軸交于D，設EF的長，然后利用相似（△DEF∽△DCA）得出E的坐標。
雖然照這個模型是這么做的，老師也是這么講的，但是這樣的話要討論坐標的正負問題。
妙解：
我們知道內心（內切圓圓心）是角平分線交點，做這種題的時候同樣可以利用這一點，我們可以求出∠CAB平分線的解析式，再求對稱軸交點即可。理論依據就是角平分線上的點到角兩邊的距離相等。那么現在主要問題是角平分線的解析式怎么求：
在A的右方截取AM=AB，連接BM，取BM中點G，連接AG，直線AG與對稱軸交于E
 

等腰三角形三線合一+中點坐標公式搞定
AG函數解析式是個奇怪的東西，無所謂。不過要注意的是這只求出來1個，還有上面一個，按照同樣的求法太麻煩，可以用AG⊥AE（兩個角平分線的產物）再用個射影定理。

在你覺得計算量不會很大的時候可以用這個，比如說斜邊不帶根號的時候，或者其他好算的時候。

【例題1】（2015 深圳）難度：★★★

答案：【1】(1.)

(2.)提示：說得太直接，話說我押題押得真準←別說沒用的。

(3.)提示：作BC的平行線，要讓高是1.5倍。

【7】圖像平移問題
實用度：★★★★
平移大家都懂，平移后函數的表達式幾個字概括——上加下減，左增右減

即使知道這個口訣，你知道怎么做嗎
首先：交點問題，問和直線有幾個交點……設出函數表達式，算△（判別式）即可，注意說的是直線還是線段，如是線段的話要多討論一步。
其次：斜向平移問題。比如說：如圖，函數有，A是拋物線頂點且在直線上，將拋物線沿直線平移，A的對應點為B，AB=5時，求平移后拋物線。
事實上是先配頂點式，原拋物線：y=(x+2)2-1，那么就設B(m,1/2m)
所以平移后拋物線y=(x-m)+1/2m，用兩點間距離公式秒殺。
所以說斜著平移就要設坐標，配頂點式。
三角函數綜合：還用上面那個圖，設原拋物線與y軸交于C，則當tan∠BCO=1時，求拋物線解析式。照樣設坐標，通過三角函數轉換解出B的坐標，于是平移后拋物線解析式就有了。
【例題1】（2014 深圳）難度：★★★★
 

答案：【1】(1.)

(2.)提示：設出頂點坐標，表達F的坐標，作EG⊥y軸，利用射影定理。

(3.)提示：表達面積， 注意需要分類討論，或或

【8】相似三角形存在性問題
使用度：★★★★
相似三角形近幾年來考的貌似比較少，可是這還是很重要的。
一般的相似問題都是直角三角形的相似，這是比較簡單的。然后常考的就是鈍角三角形的相似，銳角比較少考。
相似問題的關鍵在于尋找對應關系，合理的分類討論，如：
函數：y=x2-4x+3，D是頂點，E是x軸上方拋物線上的點，作EF⊥x軸于F，若△EFA與△CBD相似，求E的坐標
 

先設出E的坐標(m,m2-4m+3)，可以知道∠CBD=90°，BC：BD=3:1，分類討論， EF：AF=1:3、EF：AF=3：1，列方程求出m。別忘了E可以在右邊也可以在左邊。相似三角形的存在性不難，就是相似比列方程。但要記住一句話：沒有相等角的一定不相似，有相等角的卻不一定相似。意思是相似三角形的前提是要有相等的角，在這前提下才能用相似

【例題1】（原創）難度：★★★★

答案：【1】(1.)

(2.)①提示：，則要△OFD∽△QOD，記住可用韋達定理簡單運算。

②提示：猜測特殊位置，猜P是頂點時，可通過設坐標求證。具體證明略。

【9】等腰直角三角形的存在性
實用度：★★★
一般這種題比較少考，但是貌似作為一個比較基礎、而比較有創新意識的題型，不講不行。
事實上這個很簡單：記得我們講過的弦圖嗎？這就是要用弦圖的。
例如：函數如下，在平面內找一點D，使△ABD是等腰直角三角形。

A的坐標是(-3,0)，B是(0,-1)
做這種題，有等腰直角或正方形的話，首先考慮弦圖，故做出弦圖。然后設DE=x，推出BC=x，CD=x+1，所以AE=x+1，所以就會有x+x+1=3，x=1所以D的坐標就有了。
是不是很簡單？來試試身手！
【例題1】（2014 臨沂）難度：★★★
 

答案：【1】(1.)

(2.)提示：很多種求法，吧里也有很多可參考的，可用鉛直高做。距離

(3.)提示：同時考察平移、等腰直角三角形。注意平移時CD的長以及相對位置不變。

（即C、D的橫坐標、縱坐標相差不變）

【10】角度存在性
實用度：★★★★

角度的存在性比較經典，也是比較新穎的題，不出不知道，一出嚇一跳。舉個例子：如圖，函數已有，在x軸上找一點D，使得∠ACO=∠DCB。求D的坐標

先觀察圖形，猜測會有兩個D，一個在B左側，一個在右側，由角度相等證得∠ACD=45°。有45°先聯想到弦圖，故作等腰直角三角形ACE，EF⊥x軸，則△AEF≌CAO，然后得到E的坐標是(3,1)，因為C的坐標已知，所以直線CE的表達式可以求出，從而得出D的坐標。
另一邊的怎么辦？這要利用前面求得的D的坐標，觀察圖形可知CB是角平分線，根據對稱性，可以把△BCD1翻折到△BCF的位置，而且F正好在CD2上，以此可以求出F的坐標，然后算直線求出D2的坐標。
這種題要觀察周圍的等量關系，常常需要借助全等來解決。
【例題1】（改編）難度：
 

答案：【1】(1.)

(2.)提示：根據對稱性，可知BE與y軸交點坐標為(0,3)。

(3.)提示：根據計算△得到D的坐標，然后分M在y軸左側、右側討論。或

或

【※1】新型最值問題（注：“※”為補充，原帖中沒有）

一種新型的最值問題，用那套模型是否能夠搞定呢？

注意：請了解模型專題中的最值問題及第一反應專題中的路徑問題再加以了解

換表不換里，所有最值的思想都是一樣的。只是這里要繞一些彎路。
【例題1】

雖然你看到“和最小”，卻找不到作對稱的方法，因為作對稱一定要有直線。

遇到這樣的題，不妨設B的運動路徑為l，由拋物線，以求得B的坐標，
另外便是有一種叫做焦點準線的東西，高中的東西，當然它會給你一個材料理解，具體是什么自行百度。
【例題2】（改編）
(1.)證明用兩點距離公式證明。
(2.)連接PC，由(1.)可知h1+h2即為CP+CA，故求CP+CA的最小值，P、C、A共線時最小，最小值為6

【練習1】（原創）
 

答案：【1】(1.)

(2.)①提示：由于平行，△AED、△ADF面積相等。

②提示：設出直線EF的表達式，與拋物線聯立得出一個一元二次方程，由韋達定理，得出方程兩個解的和為0，故E、F關于G中心對稱。詳細證明略。

(3.)提示：計算D的運動路徑，是一條拋物線，由化曲為直思想，求出PQ即為最小值，

【※2】韋達定理的運用

常有一種題，不直接告訴你要使用韋達定理（即一元二次方程中根與系數的關系）它需要必要的轉換。

這種題說難不難，說簡單卻不簡單，它最常用的還是與一線三等角模型結合。上個例題。

【例題1】（原創）

細節專題里的題，我直接拿來用了。重要的是第(2.)題，OE⊥OF，求證G為定點。

一般這種題大膽地去設坐標，大膽地做垂直一線三等角，作相似，做比例。

然后設出EF所在直線的坐標，與拋物線聯立得到一個一元二次方程，利用韋達定理，就能搞定。

事實上是不難的，可是有些地方……不多說，上練習你會懂得。

【練習1】（2014 武漢）難度：★★★★★（有史以來覺得很難的一道題。第一個5星

答案：【1】(1.)提示：只要直線不存在值便能求出定點坐標。

(2.)提示：算A、B坐標，水平寬鉛直高。或(-2,2)

(3.)提示：太難提示，首先設出A、B、D的坐標（假設D的橫坐標為t），然后一線三等角模型，聯立方程，韋達定理，比較難算，然后你會得到這個東西，你會認為這個方程解不開，事實上用個求根公式硬算整出來倆根，一個是常數，那么就能求出定點D的坐標，然后再用最值模型，考慮到AB上有一個定點C，那么CD理應是D到直線AB的最大距離。答案為